2.4 Modelo de Sistemas Basicos

Modelos matemáticos

Para estudiar el comportamiento de los sistemas se utilizan modelos matemáticos, que se representan por ecuaciones, las cuales describen las relaciones entre la entrada y salida de un sistema, y que también se aprovechan para predecir el comportamiento de un sistema en condiciones especificas.
 Las bases de estos modelos se obtienen de leyes físicas fundamentales que rigen el comportamiento de un sistema. 

Elementos básicos de sistemas mecánicos

Los elementos básicos que se utilizan para representar sistemas mecánicos son los resortes, amortiguadores y masas. Los resortes representan la rigidez del sistema; los amortiguadores, las fuerzas que se oponen al movimiento, es decir, los efectos de fricción, y las masas, la inercia o resistencia de la aceleración.

La rigidez de un resorte se describe por la relación entra la fuerza (f), que se usa para extender o comprimir dicho resorte y la extensión o compresión (x) resultante. Un resorte lineal se describe como: 

F=kx

El elemento básico amortiguador representa el tipo de fuerzas que se originan cuando se intenta empujar un objeto a través de un fluido, o al desplazar un objeto en contra de fuerzas de fricción. El amortiguador se representa por un pistón que se mueve en un cilindro cerrado. Para que el pistón se mueva es necesario que el fluido de uno de los lados del pistón fluya a través, o hacia delante, de este. Esto produce una fuerza resistiva. En el caso ideal, la fuerza de amortiguamiento o resistiva (f) es proporcional a la de amortiguamiento o resistiva. En el caso ideal, la fuerza de amortiguamiento o resistiva (f) es proporcional a la velocidad (v) con la que se mueve el pistón, es decir: 

F=cv          

El elemento básico masa tiene la propiedad de que cuanto mayor sea la masa, mayor será la fuerza necesaria para acelerarla. La relación entre la fuerza (f) y la aceleración (a) es F=ma (segunda ley de Newton), donde la constante de proporcionalidad entre la fuerza y la aceleración es la constante denominada masa (m). Tenemos que:

Elementos básicos de sistemas eléctricos

Los elementos básicos de los sistemas eléctricos son los inductores, capacitores y resistencias. En un inductor la diferencia de potencial (v) presente en todo momento depende de la razón de cambio de la corriente (di/dt) que pasa por él.

En un capacitador, la diferencia de potencial depende de la carga (q), de las placas del capacitor en determinado momento.
En una resistencia, la diferencia de potencial (v), en un instante dado dependerá de la corriente (i), que circule por ella.. 
La potencia (P) que disipa una resistencia cuando tiene una diferencia de potencial.                       

Elementos básicos en sistemas fluidos

En los sistemas de fluidos hay tres elementos básicos que se pueden considerar los equivalentes de la resistencia eléctrica, la capacitancia y la inductancia. Se puede considerar que los sistemas de fluidos pertenecen a dos categorías: hidráulicos, donde el fluido es un liquido no compresible; y neumáticos los cuales contienen gases compresible que, por lo tanto, experimentan cambios de densidad.

La resistencia hidráulica es la que se presenta un liquido cuando fluye a través de una valvula o debido a los cambios en el diámetro de la tubería. La relación entre el gasto volumétrico de un liquido (q), que pasa por un elemento de resistencia, y la diferencia de presión resultante, (p₁ – p₂) es:                                     

p₁ – p₂ = Ra

donde (R) es una constante denominada resistencia hidráulica.
Capacitancia hidráulica es el termino que describe la energía almacenada en un liquido cuando éste se almacena en forma de energía potencial, es decir, lo que se conoce como carga de agua.                                 

q₁ – q₂ = dV/dt

La inercia hidráulica es el equivalente de la inductancia en un sistema eléctrico o de un resorte en los sistemas mecánicos. Por acelerar un fluido y así aumentar su velocidad, se requiere una fuerza. Considere un bloque de masa liquida (m). La fuerza neta que actúa sobre el liquido es:            

F₁ – F₂ = p₁A – p₂A = (p₁ – p₂) A

Después de una serie de conversiones llegamos a la ecuación final:                         

I = Lp/A